没时间写前言了，现在赶到现场的是屁都不会的我和拼劲全力不能战胜的 PDE。
从这里到这里，196 页，这真的可能吗？
第一章 绪论
以函数作为未知量的方程称为 函数方程 / 泛函方程。
联系自变量、未知函数、未知函数导数的函数方程是 常微分方程。
常微分方程的多元函数的版本是 偏微分方程。
n 阶常微分方程的 n 说的是最高导数阶数。
求解思想
计算和近似计算
通解说的是有独立常数的解，特别的，这个独立常数满足对 y 和 y导数的雅可比行列式不为0
我看不懂，但是我看那个行列式懂了，也就是偏微分c1 c2在对函数组「贡献」组成的向量上是线性无关，也就是说c1和c2对函数组贡献无关，对函数组有相互独立的贡献。
常数被确定的时候就出了 特解。
初值条件 就是为了让通解变成特解的条件种类一种，边界条件 也是作用让通解变特解。不同的是初值条件基本上围绕一个点，边界条件围绕一系列点。
附加初值条件的方程称为 初值问题，也叫 Cauchy 问题。
对于难解的初值问题，也可以考虑用迭代构造函数序列的办法来逼近初值问题特解。
用等价积分形式
这里用的是牛顿-莱布尼茨公式，也就是微积分基本定理：定积分出来的是函数插值。
保证收敛性下，用递推公式就能得出近似解。
几何分析
微分方程的方向场就是点上指明该点的斜率。
积分曲线就是方程解的曲线。用条件定义特解就能尝试画特解的积分曲线。
这么做的好处是，积分曲线的每个点都是与方向场一致的光滑曲线。
反过来说，看方向场就能看到积分曲线，从而看到解的几何特征。
等倾线用于看积分曲线的分布状况。等倾线就是每个点斜率都一样的曲线。
斜率为0的等倾线是水平等倾线，垂直的则是垂直等倾线。
第二章 初等积分法
变量分离形式
经典变量分离
像这样的一阶微分方程就是变量分离形式的方程。
可以用分离变量法求解：
\begin{align} \
解出 \
&y=G^{-1}(H(x)+C) \
\end{align}
\begin{align}
先考虑齐次线性方程 \
&\frac{dy}{dx}=a(x)y \
这是线性分离的方程，可以求得解 \
&\int \frac{dy}{y}=\int a(x)dx \
&\ln|y|=\int a(x)dx + C_{1} \
&|y|=e^{\int a(x)dx+C_{1}}=e^C_{1}e^{\int a(x) dx} \
&y=Ce^{\int a(x) dx}
\end{align}
\begin{align}
技巧来了，将常数 C 替换为函数 c(x) \
y&=c(x)e^{\int a(x)dx} \
所以有 \
\frac{dy}{dx}&=\frac{dc}{dx}\cdot e^{\int a(x)dx}+a(x)c(x)e^{\int a(x) dx} \
将上面构造的解带入非齐次线性方程可以得到 \
\frac{dc}{dx}\cdot e^{\int a(x)dx}+c(x)e^{\int a(x) dx}&=a(x)c(x)e^{\int a(x) dx}+f(x) \
化简可以得到 \
\frac{dc}{dx}&=f(x)e^{-\int a(x)dx} \
两边积分能算出来 \
c(x)&=\int f(x)e^{-\int a(x)dx}+C \
带入最顶头的式子就能得到通解 \
y&=e^{\int a(x)dx}\left( \int f(x)e^{-\int a(x)dx} + C \right) \
或者更进一步拆开括号 \
y=Ce^{\int a(x)dx} + e^{\int a(x)dx} \int f(x)e^{-\int a(x)dx}
\end{align}
\begin{align}
两端除以 y^\alpha \
y^{-\alpha} \frac{dy}{dx} = a(x)y^{1-\alpha}+f(x)y \
令 z=y^{1-\alpha} \
则有 \frac{dz}{dx}=(1-\alpha) \frac{dy}{dx} \
所以 \frac{dz}{dx}=(1-\alpha)a(x)z+(1-\alpha)f(x) \
现在是关于 z 的一阶线性方程了.
\end{align}
\begin{align}
z=e^{\int(1-\alpha)a(x)dx} \left( \int(1-\alpha) f(x) e^{-\int(1-\alpha)a(x)dx}+C \right)=y^{(1-\alpha)} \ \
这是隐式解了，喜欢算显式解自己算去.
\end{align}
\begin{align}
有这么一个条件成立 \
f(\lambda x,\lambda y)\equiv f(x,y) \
令 u = \frac{y}{x} ，则 y=ux. \
所以 \frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx} \
代入原方程得到 \
u+x \frac{du}{dx} = f(x,ux) = f(1, u) \
最后
x\frac{du}{dx} = f(1,u) - u
\end{align}