抽象代数 大逃杀笔记

艹。

第一章 预备知识

1.1 集合

交换律：交换参与运算的数的位置（即操作数的顺序），结果不变。

结合率：改变运算的结合分组方式（即先算哪一部分），结果不变。

分配率：一个运算对另一个运算进行分配，分别计算后结果相同。

1.2 Cartesian 笛卡尔积

笛卡尔积是作在集合上的积，定义如下

注意 是有序偶，并且来自两个不同的集合。

就是经典的 Descartes 笛卡尔平面.

1.3 等价关系与商集

，说的就是.

或者换句话说，就是左边是A，右边是B，R是一个关于A中元素和B中元素的操作。

关系可以理解成对集合笛卡尔积的部分映射。

A 上的等价关系说的是具有 自反性、对称性、传递性 的特殊关系。

记为等价类，意为 等价的元素全体组成 的一个子集。

两个等价类不重合就一定不相交。

分划：集合可以被换分成互不相交的等价类之并，成为集合的一个分划。

集合上的一个等价关系决定了该集合的一个分划。

A 关于等价关系 ~ 的商集，指的是 A 上的所有等价类的集合。

1.4 映射

映射其实是一种特殊的 关系

集合A中任一a元素仅与集合B中唯一一个b元素有关系，则这个关系称为映射。

投影：

自然映射：在某个等价关系下，将集合元素映射到其等价类上。

映射满足结合律.

1.5 二元运算

也可以拓展到 n 元运算，以及映射到不同集合的运算。

* 1.6 偏序 和 Zorn 引理

偏序关系 P:

带偏序关系的集合叫作偏序集。

注意偏序集中并非任一两个元素都有序关系。

如果任一两个元素都有序关系的偏序集称为全序集。偏序集中的全序子集称为偏序集的一根「链」。

Zorn 引理： 设 S 是一个偏序集，若 S 中的每根链都有上界，则 S 有极大元。

第二章 群论

2.1 群的概念

半群

记乘法为在 S 上的一个二元运算。

半群：乘法适合结合律。

半群的乘法有时候会省略，如 记为

交换半群：乘法适合交换律

幺元/单位元：.

幺半群：有幺元的半群

群

逆元：

有逆元的半群称为群

记加法为在 G 上的一个二元运算。

群 G 的运算若适合交换律，则称为交换群或 Abel 群。

交换群的运算有时候用加法+来表示.

幺元记为. 逆元/负元记为 .

有限群 无限群

含有有限个数元素的是有限群，无限个数元素的是无限群。

表示 G 的元素个数.

若 ，称 G 为 n 阶群。

变换群 对称群

S 是一个集合，S 上的一个一一对应称为 S 的一个变换，S 的全体变换记为 A(S)，A(S) 称为变换群。

如果上面的 S 是一个有限集合并且有 n 个元素，则 S 称为 n 阶对成群。 因为 S 全体元素任一排列决定了 S 的一个变换.

模 n 的剩余类加法群：

域 K 上的 n 阶一般线性群

n 阶特殊线性群：

Hamilton 四元数群：就四元数那个，还有四元数运算组成的群

群的性质

幺元唯一

对任一元素逆元唯一

对任一元素逆元的逆元是元素自身

2.2 子群和傍集

子群：G 是一个群，H 是 G 的子集，如果 H 在 G 的运算下也成为一个群，则 H 是 G 的子群。（子集+同运算下成为群）

子群有传递性.

G 的平凡子群：一个平凡子群是 G 自身看成自身的子群， 另一个是 G 的唯一幺元组成 G 的子群。

其他的子群称为非平凡子群。

神秘小定理：

简单说就是 封闭性 + 逆元存在，或者 也在子群内（不管正向运算还是反向运算都能保持封闭性）。

群的中心：群中与所有元素课交换的元素的集合.

群的中心必是子群

由 S 生成的子群：S 是 G 的子集，G 中包含 S 的所有子群的交(最小集合)称为由 S 生成的子群，记为

指的是根据一个子集生成出来的最小子群吗

生成元：，则 S 中元素称为 H 的生成元。

循环群：可由一个元素生成的群.

周期：a 是 G 的元素，若存在最小自然数 n 使得 ，则 n 为元素 a 的周期；若不存在自然数 n，则称 a 的周期为 0 或 . 记为

a 的周期等于 的阶。即 .

左傍集：H 是 G 的子群，，则 是 G 的一个右傍集/右伴集。简单理解就是子群的左平移

傍集的性质：

• 的充要条件是 . 理解成进行偏移后再进行逆向偏移，结果发现没进行偏移，所以是相等的
• （对左傍集同样可以成立）

指数：简单说就是群的傍集的等价关系下商集的阶

Lagrange 定理：若 H 是有限群 G 的子群，则 挺好理解，因为傍集有阶相等的性质. 不同傍集的数量(指数)乘上傍集元素数就能得到群的元素数.

Lagrange 定理推论：

• 若 G 是有限群，则 G 中任一元素的周期必然是 |G| 的因子
• 若 G 是有限群，则对任意 .
• 若 ， 是一个素数，则 G 是循环群。

2.3 正规子群与商群

正规子群：H 是 G 的子群，若对任意 G 中元素 a 总成立 ，则称 H 是 G 的正规子群（不变子群）。记为 . 理解就是上面说的，偏移后逆向偏移还能不变.

判定：H 是 G 的子群，若对任意 ，以及任意 ，有 或 则 H 是 G 的正规子群。

平凡正规子群：以及 G 自身.

单群：正规子群都是平凡正规子群的群

换位子元：，这里 是 a 与 b 的换位子元. 小知识：

换位子子群 / 导群：G 中所有换位子子元生成的群。记为 。

是正规子群

C 是 G 的中心，C 必是 G 的正规子群

任意个正规子群的交仍然是正规子群

正规化子：，这里的 称为 H 在 G 的正规化子。

正规子群的充要条件是

正规子群等价于对子群做任意等量正向和反向运算后依然保持不变性，所以又叫不变子群。而(Ha)(Hb)=H(ab)可以理解成不论是先对子群进行运算后合并还是先运算后在应用到子群上都是等价的.

正规子集的商群 是一个群，在运算 上.

中的等价类记为 .

是交换群则 也是交换群， 是有限群则 也是有限群并且

是最小让 交换的正规子群

2.4 同态和同构

平凡同态：G1 任意元素经过映射都映射到 G2 的么元.

群同态性质：

• f(e) 是 G2 幺元
• 的核是正规子群.
• 同构关系是等价关系.
• 到 上的自然映射是群同态，并且叫自然同态.

同态 的核：.

同态基本定理： 设 f 是 G1 到 G2 的映上同态，则 f 诱导出 的同构 ，其中 对一切 成立.

推论：

• ……

第一同构定理： 第二同构定理：