抽象代数 大逃杀笔记2号笔记

同态

同态 .

同态保运算（保持运算）. 满足什么律映射之后就满足什么律.

同态 + 满射 = 满同态.

满同态 + 单射 = 同态 + 双射 = 同构.

等价关系

关系.

等价关系性质：

• 反射
• 对称
• 传递

群

半群：

• 封闭
• 结合

群第一定义：

• 封闭
• 结合
• 有解.

群第二定义：

• 封闭
• 结合
• 单位元
• 逆元

群的阶，元素的阶

为群元素的个数，优先的叫有限群，无限的叫无限群.

中 m 为最小正整数，即元素的阶数.

m 不存在可以称为阶无限.

变换群，置换群

n 阶对成群 Sn 有 个元素.

子群

经典 .

循环群，生成元，陪集

中每一个元素都是固定元 的乘方，则 称为循环群，并且 称为生成元.

在循环群以外，生成元可以是多个数.

循环群的生成元：

如果 a 的阶是无限，则生成元是 , .

指数：一个群的子群的有陪集的个数叫作 H 在 G 里的指数.

拉格朗日定理：

群同态 （二周目）

环和域

环 = 集合 + 在集合上的群运算（加法群） + 在集合上的半群运算（乘法半群） + 满分配律.

交换环： 不管ab是哪两个元都成立.

零元：加法群的单位元在环上叫单位元. ( 记为 0)

不一定存在的东西：

• 单位元：. 环不一定存在单位元. (记为 1)
• 零因子 ,则 a 称为做零因子，b称为右零因子

整环 = 交换环 + 乘法单位元 + 没有零因子. 除环 = 环 + 至少一个非零元 + 单位元 + 乘法逆元

域 = 乘法交换 + 除环 = 非零元 + 加法交换群 + 乘法交换群 + 分配律.

子环，环同态

子环 S 要满足下面两个：

子除环：

理想，又名理想子环.

.

平凡理想：自身组成叫单位理想，零元组成的叫零理想

除环只有两个理想，而且都是平凡理想.