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数学分析3 大逃杀笔记2

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才发现上学期没学正向级数而是直接去学多元微积分了，所以这学期得先回来学正向级数。

杂项结论

Misplaced && 当 0 < x,\quad 有 \sin x < x \\ &Jordan不等式:\quad 当 0 < x < \frac{\pi}{2},\quad 有 \frac{2}{\pi}x<\sin x< x \\ &e:\quad \lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}=e \\ &2\leq \left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}<e \\ &Stirling公式:\quad n! \sim \sqrt{ 2\pi n }\left( \frac{n}{e} \right)^{n} \\ \\ &据说很漂亮的级数:\quad 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\dots=\ln 2 \\ &另一个很漂亮的级数:\quad 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\dots=\frac{\pi}{4} \\ \\ &holy的我都觉得漂亮的级数:\quad 1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-\dots=\frac{1}{1+x} \end{align}$$ ## 级数 ### 级数定义 级数: $有S_{n}=\sum^n_{k=1}a_{k}, 则 \lim_{ n \to \infty }S_{n} 为级数$. 如果极限存在的，则说级数是收敛的。如果不存在，则说级数是发散的。 **级数收敛的必要条件：** $\sum^{\infty}_{n=1}a_{n} 收敛 \implies a_{n} \to 0$. 注意是必要条件，不是充要条件。*这个可以用来帮助判断级数是否是发散的：如果级数不趋于0,则必然发散。* ### 级数的特性 **线性** $$\sum^{\infty}_{n=1}(k_{1}a_{n}+k_{2}b_{n})=k_{1}\sum^\infty_{n=1}a_{n}+k_{2}\sum^\infty_{n=1}b_{n}$$ **如果级数收敛，则可以用结合律** $$\sum^\infty_{n=1}=a_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots+a_{n}=\sum^\infty_{n=1} a_{1}+(a_{2}+a_{3})+\dots+a_{n}$$ 可以把结合律改变运算后的看成新的数列 $b_{1}=a_{1},b_{2}=a_{2}+a_{3}$. 同时 $b_{n}$ 的级数也是收敛的并且和 $a_{n}$ 的级数相等. 其实就是：数列收敛、子列收敛。 **一般的收敛的级数不能用交换律** 如题 **但是绝对收敛级数是可以用交换律的** 绝对收敛级数：对级数的各项绝对值组成的级数 $\sum^\infty_{n=0}|a_{n}|$也是收敛的，则称级数是绝对收敛级数。 ### 常见级数 #### p 级数

p级数\quad \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^p}:\quad \begin{cases} 发散 & p\leq 1, \ 收敛 & p \gt 1 \end{cases}

You can't use 'macro parameter character #' in math mode 当 $p=1$ 时的级数称为调和级数 $\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n}$ #### 等比级数

等比级数\quad \sum^\infty_{n=1}a \cdot q^n:\quad \begin{cases} 收敛于\quad \frac{首项}{1-q} & |q| < 1, \ 发散 & |q| \geq 1, \end{cases} \quad, 并且a\neq 0

You can't use 'macro parameter character #' in math mode ## 正项级数 数列 $a_{n}$ 都 $>0$ 的级数是正项级数。 *如果有 0 其实也不影响级数敛散性，所以遇到带 0 的也可以看成正向级数。* *如果是全 < 0 组成的也可以看成正向级数，因为符号可以提出来。* *从某一项开始才开始有正项级数也行，因为前 n 向可以单独算。放宽松点依旧可以当正向级数。* ### 基本定理 $$\sum^\infty_{n=1}a_{n}是正项级数 \iff S_{n}单调递增$$ $$\sum^\infty_{n=1}a_{n} 收敛\iff S_{n}收敛$$ 定理如下： $$如果\sum^\infty_{n=1}a_{n}是正向级数，则有\sum ^\infty_{n=1}a_{n} 收敛\iff S_{n}有上界$$ ### 比较判别法 有$\sum^\infty_{n=1}x_{n}, \sum^\infty_{n=1}y_{n},\quad x_{n}>0, y_{n}>0,\quad x_{n}\leq Ay_{n}\quad(A>0)$. 则有：

\begin{align} & 若 \sum^\infty_{n=1}y_{n}收敛,\quad 则\sum^\infty_{n=1}x_{n} 收敛. \ & 若\sum^\infty_{n=1}x_{n}发散,\quad 则\sum ^\infty_{n=1}y_{n} 发散. \end{align}

You can't use 'macro parameter character #' in math mode **简称：大收小收，小发大发。** ### 极限判别法 $$有\sum^\infty_{n=1}x_{n}, \sum^\infty_{n=1}y_{n}是正项级数，并且令\lim_{ n \to \infty } \frac{x_{n}}{y_{n}}=l$$

\begin{align} & 若 \ &\quad & 0\leq l < +\infty,\quad 若 \sum^\infty_{n=1} y_{n} 收敛,\quad则 \sum^\infty_{n=1}x_{n} 收敛. \ &\quad & 0\leq l \leq +\infty,\quad 若 \sum^\infty_{n=1}y_{n}发散,\quad则\sum^\infty_{n=1}x_{n} 发散. \end{align}

You can't use 'macro parameter character #' in math mode **一个很好的推论是**： $$当0<l<+\infty时，\sum^\infty_{n=1}y_{n}和\sum^\infty_{n=1}x_{n}同敛散性.$$ ### 根值判别法 (柯西判别法) 对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$. $$\begin{align} & 若 \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ a_{n}} = r 存在,\quad 则 \\ & \quad r: \begin{cases} 0 \leq r < 1,\quad 收敛 \\ r > 1,\quad 发散 \\ r = 1,\quad 失效 \end{cases} \end{align}$$ *一般对次方和根号效果显著。* ### 比值判别法 (达朗贝尔判别法) 对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$. $$\begin{align} & 若 \lim_{ n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = r 存在,\quad 则 \\ & \quad r: \begin{cases} 0 \leq r < 1,\quad 收敛 \\ r > 1,\quad 发散 \\ r = 1,\quad 失效 \end{cases} \end{align}$$ *一般对阶乘效果显著。* ### Rabbe 拉贝判别法 对正项级数$\sum ^\infty_{n=1}a_{n},\quad a_{n}>0$. $$\sum^\infty_{n=1}n\left( \frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1 \right)=r:\begin{cases} r>1,\quad 收敛 \\ r<1,\quad 发散 \\ r=1,\quad 失效 \end{cases}$$ #### 附加结论 $$\begin{align} & 对于级数 \\ & \sum ^{\infty}_{n=2} \frac{1}{n^{q}\ln ^{q}n}:\begin{cases} p>1 \implies 收敛, \\ p<1 \implies 发散, \\ p=1, 并 \begin{cases} q > 1, \implies 收敛 \\ q \leq 1, \implies 发散 \end{cases} \end{cases} \end{align}$$ ### 积分判别法 $$令f(x)为非负、单调递减, \exists a>0,\forall A>a,有[a,A]可积的函数；则\int ^{+\infty}_{a}f(x)与\sum ^{\infty}_{n=1}f(n)同敛散.$$ ## 一般项级数 交错级数、莱布尼兹判别法 #todo Abel 判别法、Dirichlet 判别法 ## 幂级数 ### 幂级数基本概念 $$\sum^\infty_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\dots$$ $x_0$ 称为 **中心位置.** 可以用换元，写成： $\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}u^{n},\quad 其中u=x-x_{0}$ 收敛区间： $(x_{0}-r,x_{0}+r)开区间$. 收敛区间内收敛，收敛区间外发散，收敛区间端点可能发散也可能收敛。此外有: $$r:\begin{cases} r=0,\quad 仅在x=x_{0}处收敛. \\ 0<r<+\infty,\quad 在 (x_{0}-r,x_{0}+r) 收敛. \\ r=+\infty,\quad 在 R 处处收敛. \end{cases}$$ $$收敛域=收敛区间\cup\{收敛的端点\}$$ ### 收敛半径的求法 有级数 $\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}x^n$ **根值求法：** $$\lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{ |a_{n}| }=\rho=\frac{1}{r}$$ 也就是说 $r=\frac{1}{\rho}$ **比值求法：** $$\lim_{ n \to \infty } \left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\rho=\frac{1}{r}$$ 和上面的一样，$r=\frac{1}{\rho}$ ### 性质 #### Abel 第一定理 幂级数一定存在收敛半径balabala……*就是上面这个方法用的前提。* #### Abel 第二定理 对$\sum^\infty_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n},\quad r为收敛半径，有：$ 1. $在(x_{0}-r,x_{0}+r)内绝对收敛，内闭一致收敛.$ 2. $若在x=x_{0}+r收敛，则[a,x_{0}+r]一致收敛,\quad 其中a\in(x_{0}-r,x_{0}+r)$ 3. $上面这条对x_{0}-r也成立。$ ...**省流：在收敛域内闭一致收敛（收敛域内的任意闭区间都一致收敛）** #### 连续性定理 幂级数在收敛域内的和函数是连续的。 和函数$S(x)$就是这货：$S(x)=\sum ^{\infty}_{n=0}a_{n}(x-x_{0})^{n}$ $S(x)在收敛区间连续.$ 同样的，对于端点而言，有： $$\begin{align} \begin{cases} 级数在x_{0}-r收敛 \implies S(x)在x_{0}-r右连续 \\ 级数在x_{0}+r收敛 \implies S(x)在x_{0}+r左连续 \end{cases} \end{align}$$ #### 可导性定理 $S(x)在收敛区间无穷次可导，并且可逐项求导.$ #### 可积性定理 在收敛域内闭区间可积，并且可以逐项积分. #### 其他 逐项求导和逐项积分不改变收敛半径，可能改变收敛域。 ### 函数展开幂级数 $f在I不是无穷次幂级数\implies f不能展开幂级数$ $f在I无穷次可微\implies 有泰勒公式:f(x)=\sum^n_{k=0} \frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_{0})^k+R_{n}(x)$ 可见 $R_{n}\to 0$ 的时候就可以展开幂级数了，而且展开是 $f(x)=\sum^\infty_{n=0} \frac{f^{(k)}(x)}{n!}(x-x_{0})^n$ ![[4fbc71ab5d403aa85dcd81f1c7708600.png]] > [!tip] > > 可以用逐项求导省略一下，例如 sinx 逐项求导求出 cosx。 > > arctanx和 ln(1+x) 可以用间接展开：先从他们的导数通过逐项积分来获得。 ## 傅里叶级数 傅里叶展开 核函数 $f(x)\sim S(x)= \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[ a_{n}\cos \frac{n\pi x}{L} + b_{n} \sin \frac{n\pi x}{L} \right]$ ![[Pasted image 20260104185120.png]] ## 含参量积分 ### 常义含参积分 ![[Pasted image 20251229195841.png]] 连续：极限和积分可换序 可积：累次积分可换序 可导：积分号下求导可换序 / 导数和积分可换序 可导下的换序是偏导： $$\frac{d}{dx}\left( \int ^{d}_{c} f(x,y)dy \right)=\int ^{d}_{c} \frac{\partial}{\partial x}f(x,y)dy$$ **常义含参积分导数公式:** $$\frac{d}{dx}\int ^{\phi(x)}_{\rho(x)} f(x,y)dy=f(x,\phi(x))\cdot \phi'(x)-f(x,\rho'(x))+\int ^{\phi(x)}_{\rho(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(x,y)$$ ### 广义含参积分 ![[Pasted image 20260103202702.png]] #### M 判别法 $$\begin{align} & |f(x,y)\leq g(y)|,\quad 且 \int ^{+\infty} _{c} g(y) dy 收敛, \\ & \quad 则 \int ^{+\infty} _{c} f(x,y) dy 在 [c,d] 一致收敛. \end{align}$$ #### AD 判别法 ![[Pasted image 20260103203202.png]] ![[Pasted image 20260103203317.png]] ## 二重积分 ![[Pasted image 20260103203739.png]] ![[Pasted image 20260103204150.png]] ![[Pasted image 20260103204649.png]] ![[Pasted image 20260103205220.png]] ![[Pasted image 20260103205609.png]] ![[Pasted image 20260103210035.png]] ## 曲线积分 ### 第一类曲线积分 ![[Pasted image 20260103210643.png]] ### 第二类曲线积分 > [!WARNING] > > 下面这图曲线积分 **少写了** 一个 x'(t)，这是笔误。 ![[Pasted image 20260103211015.png]] ### 第二类曲线积分化第一类曲线积分 ### 第一类曲面积分 ![[Pasted image 20260103211452.png]] ### 第二类曲面积分 ![[Pasted image 20260103211809.png]] ## 其他aa 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式.

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